Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA=∠OBA时，直线CD的解析式为________

Answer 1

【答案】y=﹣ x+4

【解析】分析：由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM与三角形AOB相似，确定出OD与AB垂直，再由OA=DA，利用三线合一得到AB为角平分线，M为OD中点，利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，进而确定出B，D，C三点共线，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y=mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．

详解：

∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，

∴△AOB≌△ABD（SAS），
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三点共线，
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得：

解得：

∴直线AB解析式为y=- +4，
∴直线OD解析式为y=

则

解得：

则点M（），

∵M为线段OD的中点，

∴D（），

设直线CD解析式为y=mx+n，

把B与D坐标代入得：

解得：m=-，n=4，
则直线CD解析式为y=﹣ x+4.

故答案是：y=﹣ x+4.