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5.如图,EG是⊙O的直径,EB,GC,BC分别与⊙O相切于点E,G,F,BE=2,CG=3,求tan∠BCO的值.

分析 首先利用勾股定理得出直径的长,再利用相似三角形的判定与性质得出△OBE∽△COG,进而得出答案.

解答 解:过点B作BN⊥GC,
∵EB,GC,BC分别与⊙O相切于点E,G,F,
∴∠GEB=∠EGB=∠BNG=90°,
∴四边形EGNB是矩形,
∵BE=2,CG=3,
∴BF=GN=BE=2,GC=FC=3,
∴BC=5,NC=1,
∴BN=$\sqrt{B{C}^{2}-N{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
∴EG=2$\sqrt{6}$,
∴EO=OG=$\sqrt{6}$,
∵EB,GC,BC分别与⊙O相切于点E,G,F,
∴∠EBO=∠OBC,∠BCO=∠OCG,
∵四边形EGNB是矩形,
∴BE∥GC,
∴∠EBC+∠BCG=180°,
∴∠OBC+∠BCO=90°,
∴∠BOC=90°,
∴∠EOB+∠GOC=90°,
∵∠EOB+∠EBO=90°,
∴∠EBO=∠COG,
又∵∠OEB=∠OGC=90°,
∴△OBE∽△COG,
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{EB}{GO}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=tan∠BCO,
故tan∠BCO=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识,正确得出△OBE∽△COG是解题关键.

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