Question

已知：如图，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．
（1）若△ABC中，∠B＜90゜，D为BC上的一点，点E在△ABC的外部，求证：AD=AB．
（2）若△ABC中，∠B＞90゜，D在CB的延长线上，点E在△ABC的下方，则（1）的结论是否仍然成立？
若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由，

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC=∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）作出图形，然后与（1）的证明思路相同进行证明．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ∠B=∠ADE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AD=AB；

（2）证明：结论AD=AB成立．
证明如下：如图，
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD-∠BAE=∠EAC-∠BAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵∠BAD+∠ADB=∠ABC，
∠ADB+∠EDC=∠ADE，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，

∠BAC=∠DAE ∠ABC=∠ADE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AD=AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键．