分析 (1)由矩形的性质得出∠B=∠BAD=90°,再证出∠AEF=∠BCA,即可证出△AEF∽△BCA;
(2)先证出△AOF∽△EAF,得出△AOF∽△CBA,得出对应边成比例$\frac{AF}{AC}=\frac{OA}{BC}$,设OA=x,则AC=5x,由BC=2AB,得出AD=2$\sqrt{5}$x,求出AF,得出DF,即可求出$\frac{AF}{DF}$.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠BAD=90°,AD=BC,
∴∠CAB+∠BCA=90°,
∵EF⊥AC,
∴∠AOE=∠AOF=90°,
∴∠CAB+∠AEF=90°,
∴∠AEF=∠BCA,
∴△AEF∽△BCA;
(2)解:∵∠AFO=∠EFA,∠AOF=∠EAF=90°,
∴△AOF∽△EAF,
∴△AOF∽△CBA,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{OA}{BC}$,
∵$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{4}$,
∴AC=5OA,
设OA=x,则AC=5x,
∵BC=2AB,
∴AB=$\sqrt{5}$x,AD=BC=2$\sqrt{5}$x,
∴$\frac{AF}{5x}=\frac{x}{2\sqrt{5}x}$,
∴AF=$\frac{\sqrt{5}x}{2}$,
∴DF=2$\sqrt{5}$x-$\frac{\sqrt{5}x}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}x}{2}$,
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{3}$.
点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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