Question

阅读下面材料，并完成下列问题．
不难求得方程x+

2

x

=3+

2

3

的解为x₁=3，x2=

2

3

；x+

2

x

=4+

2

4

的解为x₁=4，x2=

2

4

；x+

2

x

=5+

2

5

的解为x₁=5，x2=

2

5

．
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x+

2

x

=a+

2

a

的解是

 

；
（2）试求出关于x的方程x+

2

x

=a+

2

a

的解的方法证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程

x2-x+2

x-1

=a+

2

a-1

．

Answer 1

分析：（1）根据规律可直接得出关于x的方程x+

2

x

=a+

2

a

的解即可；
（2）去分母，转化成整式方程求解即可；
（3）先化简，得出上面的形式，再求解即可．

解答：解：（1）猜想：x的方程x+

2

x

=a+

2

a

的解是x₁=a，x₂=

2

a

．

（2）去分母，得到ax²+2a=a²x+2x，
∴ax（x-a）+2（a-x）=0，
∴（x-a）（ax-2）=0，
x₁=a，x₂=

2

a

．

（3）解方程（x²-x+2）÷（x-1）=a+

2

a-1

[x（x-1）+2]÷（x-1）=a+

2

a-1

x+

2

x-1

=a+

2

a-1

两边同加-1，（x-1）+

2

x-1

=（a-1）+

2

a-1

所以x-1=a-1，或者x-1=

2

a-1

因此 x₁=a，x₂=1+

2

a-1

=

a+1

a-1

．

点评：本题是一个找规律的题目，考查了解分式方程，是基础知识要熟练掌握．