分析 作DN⊥AB于N,交EF于M作DH∥BC,分别交EF、AB于G、H点,如图,利用平行线的性质得到DM⊥EF,则DM=d1,MN=d2,CD=GF=BH,所以AH=AB-CD=a-b,EF=EG+CD=EG+b,
(1)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时,根据平行线分线段成比例定理,由EG∥AH得到$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{1}{n+1}$,则EG=$\frac{1}{n+1}$(a-b),所以EF=$\frac{a+nb}{n+1}$;当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时,$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{m}{m+1}$,则有EF=$\frac{ma+b}{m+1}$;
(2)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时,$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$,则EG=$\frac{m}{m+n}$(a-b),所以EF=$\frac{m}{m+n}$(a-b)+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$.
解答 解:作DN⊥AB于N,交EF于M,作DH∥BC,分别交EF、AB于G、H点,如图,
∵EF∥CD,
∴DM⊥EF,
∴DM=d1,MN=d2,
∵DC∥GF∥BH,
∵CD=GF=BH,
∴AH=AB-CD=a-b,EF=EG+CD=EG+b,
(1)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{1}{n}$时,
∵EG∥AH,
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{1}{n+1}$,
∴EG=$\frac{1}{n}$(a-b),
∴EF=$\frac{1}{n+1}$(a-b)+b=$\frac{a+nb}{n+1}$;
当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{1}$时,
∵EG∥AH,
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{m}{m+1}$,
∴EG=$\frac{m}{m+1}$(a-b),
∴EF=$\frac{m}{m+1}$(a-b)+b=$\frac{ma+b}{m+1}$;
(2)当$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{m}{n}$时,有EF=,理由如下:
∵EG∥AH,
∴$\frac{EG}{AH}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{{d}_{1}}{{d}_{1}+{d}_{2}}$=$\frac{m}{m+n}$,
∴EG=$\frac{m}{m+n}$(a-b),
∴EF=$\frac{m}{m+n}$(a-b)+b=$\frac{ma+nb}{m+n}$.
故答案为:$\frac{a+nb}{n+1}$;$\frac{ma+b}{m+1}$;$\frac{ma+nb}{m+n}$.
点评 本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.也考查了比例的性质.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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