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    如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个

    单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

    沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止

    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

    【答案】

    略

    【解析】解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3

               ∴AB＝

              ①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t

                过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得

               

               ∴

                即     (0<t≤4)

    ②当4<t≤5时，AP＝t－4  AQ=t

    sin∠BAO=

        OH=

     ∴

             =··············(4分)

    (2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ

         ∠AQP＝900   ∴cosA=

         当0<t≤4   ∴    即

         当4<t≤5时，   t=－16(舍去)

       ∴···············(6分)

    (3)存在，有以下两种情况

    ①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE

    过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N

    则有BM=QN,由PE//BQ得

    ∴

    又∵AP=4－t,  ∴AN=

    ∴由BM=QN,得

    ∴　　　∴···································(8分)

    ②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中

    BQ=EP且PQ⊥OA于P点

    由题意知

    ∵OP+AP=OA  ∴

    ∴t··············(10分)

    由①②得E点坐标为

    (4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t

    可得∠QOA=∠QAO   ∴∠QOB=∠QBO

    ∴OQ=BQ=t        ∴BQ=AQ=AE

    ∴······················(11分)

    ②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－t

    BQ=5－t, 

    在Rt△OGQ中，OQ2 = RG2 + OG2

    即(8－t)2 =

    ∴t = 5·························(12分)

     

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    （1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
    （2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．
    （3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
    （4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．
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    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

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    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

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