Question

19．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．

（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；
（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由抛物线解析式确定出对称轴，再用中点坐标确定出点A的坐标，代入抛物线解析式确定出抛物线解析式，化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由（1）的条件，确定出直线AC解析式，由PQ⊥AC，确定出点P的坐标，消去y即可；
（3）先判断出△ACE∽△APQ，再判断出∠ACB=90°，从而得到TR△BCD≌RT△BED，判断出BD∥AP，进而确定出AP解析式，联立直线AP，抛物线的解析式确定出点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$，
∴抛物线对称轴为x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵抛物线的顶点为C，
∴点C的横坐标为1，
设点A（n，0）
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．
∴$\frac{1+n}{2}$=0，
∴n=-1，
∴A（-1，0），
∵点A在抛物线y=ax²-2ax+$\frac{3}{2}$上，
∴a+2a+$\frac{3}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴抛物线的顶点坐标C（1，2）
（2）由（1）有，抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵点x轴上的点B在抛物线上，
∴B（3，0），
∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（-1，0），C（1，2），
∴D（0，1），
∵A（-1，0），C（1，2），
∴直线AC解析式为y=x+1，
∵PQ⊥AC，
∴设直线PQ解析式为y=-x+b，
∵设点P（t，-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{3}{2}$），
∴直线PQ解析式为y=-x-$\frac{1}{2}$t²+2t+$\frac{3}{2}$，
∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=m+1}\\{y=-m-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴m=-$\frac{1}{4}$t²+t+$\frac{1}{4}$；
（3）如图，

连接DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠APQ，
∵∠CAE=∠CAE
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ=∠ACE，
∵∠AEC=90°，
∴DE=AD=CD，
∴∠ACE=∠DEC，
∵∠CEP=90°，
∴EF=QF=PF，
∴∠APQ=∠PEF，
∴∠PEF=∠APQ=∠ACE=∠CED，
∴∠CED+∠BEC=∠PEF+∠BEC=∠PEC=90°，
∵点A（-1，0），D（0，1），
∴OA=OD，
∴∠BAC=45°
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°
在TR△BCD和RT△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴TR△BCD≌RT△BED，
∴∠BDC=∠BDE，
∵DE=DC，
∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，
∴AP∥BD，
∵B（3，0），D（0，1），
∴直线BD解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵A（-1，0），
∴直线AP解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
联立抛物线和直线AP解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{11}{3}}\\{{y}_{1}=-\frac{14}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍）
∴P（$\frac{11}{3}$，-$\frac{14}{9}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是确定出函数解析式，难点是判断BD∥AP，是一道综合性比较强，难度比较大的中考常考题．