Question

如图，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）点C的坐标为

 

；
（2）求△OCM的面积；
（3）若点E在过O，A，C三点的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于AB为4，CB∥OA，则C点纵坐标为4，作CG⊥AO与x轴交于点G，结合OA=AB=4，OA=2CB即可得出C点坐标．
（2）根据△CMB∽△AMO，得出

BM

OM

=

BC

AO

=1：2；求出△BCM的面积为△OCM面积的一半，又根据△CBO面积为△BOA面积的一半，只要求出梯形OABC的面积即可求出△OCM的面积．
（3）先求出二次函数解析式，再根据平行四边形的性质求出F点横坐标，将横坐标代入解析式即可求出F点的纵坐标，注意，符合条件的F点不止一个．

解答：解：（1）如图，作CG⊥AO与x轴交于点G，则CB=AG，
∵OA=2CB，
∴OA=2AG，
∵AO=4，
∴OG=2，
由于AB为4，CB∥OA，则C点纵坐标为4，
∴C（2，4）．

（2）∵AO=2CB，
∴2S_△CBO=S_△AOB，
∵S_梯形ABCO=

1

2

（CB+AO）•AB=

1

2

×（2+4）×4=12，
∴S_△CBO=12×

1

3

=4，
∵CB∥AO，
∴△CMB∽△AMO，
∴

CB

AO

=

BM

OM

，

CB

AO

=

1

2

，
则

BM

OM

=

1

2

，
∴S_△COM=

2

3

S_△COB=

2

3

×4=

8

3

；

（3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4），
∴设解析式为y=a（x-0）（x-4），
将（2，4）代入解析式得，4=a（2-0）（2-4），
解得a=-1．
则解析式为y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x．
由图可知F点横坐标为2+4=6，
将x=6代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F（6，-12）．
由图可知F₁点横坐标为2-4=-2，
将x=-2代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F₁（-2，-12）．
当F与C重合时，F₂（2，4）．
故F点的坐标为：（6，-12），F₁（-2，-12），F₂（2，4）．

点评：此题考查了二次函数的性质和梯形及平行四边形的性质，将坐标与图形相结合，使得这道题充分体现了数形结合的重要性，同时要注意分类讨论．