Question

如图，已知抛物线y=ax²-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出抛物线的解析式；写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（2）抛物线与x轴交于C、D两点，在抛物线上能否找一点N使三角形CDN的面积是三角形CDA的1.5倍？若存在求出N点坐标，不存在说明理由；
（3）若点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称．在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．

Answer 1

分析：（1）将点A（0，-6）和B（3，-9）分别代入解析式，组成方程组即可求出a、c的值，从而得到函数解析式，由此求出对称轴方程及顶点坐标；
（2）根据三角形CDN的面积是三角形CDA的1.5倍，求出三角形CDN的高，将高作为N点纵坐标，代入函数解析式，求出N的横坐标，即可得到N的坐标；
（3）将P（m，m）代入解析式得到P的坐标，再求出函数的对称轴，根据对称性求出Q点坐标，利用轴对称最短路径问题的解法，找到M点，再求出AP的解析式，将M横坐标代入解析式，从而得到M的坐标．

解答：解：（1）将点A（0，-6）和B（3，-9）分别代入y=ax²-4x+c得，

c=-6 9a-12+c=-9

，
解得

a=1 c=-6

．
故解析式为y=x²-4x-6，即y=（x-2）²-10，对称轴为x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，顶点坐标为（2，-10）．

（2）当y=0时，x²-4x-6=0，
解得x₁=2-

10

；x₂=2+

10

；
则C（2-

10

，0），D（2+

10

，0），
∵三角形CDN的面积是三角形CDA的1.5倍，
∴三角形CDN的高是三角形CDA高的1.5倍，
则三角形CDN的高是6×1.5=9，
则x²-4x-6=9或x²-4x-6=-9，
解x²-4x-6=9得，
x₃=2+

19

，x₄=2-

19

．
解x²-4x-6=-9得，
x₅=1，x₆=3．
故N点坐标为（2+

19

，9）（2-

19

，9）；（1，-9）或（3，-9）．

（3）将P（m，m）代入解析式得，m²-4m-6=m，即（m+1）（m-6）=0，
解得m=-1（舍去），m=6．
则P（6，6）．
二次函数对称轴为x=-

-4

2×1

=2，
∵P、Q关于对称轴对称，
∴Q点纵坐标为6，横坐标为-2，
∴Q点坐标为（-2，6）．
如图：连接PA，与对称轴交点即为M，
此时，△QMA的周长最小，
设A、P所在直线解析式为y=kx+b，
将（0，-6），（6，6）分别代入解析式得，

6k+b=6 b=-6

，
解得

k=2 b=-6

．
故函数解析式为y=2x-6；
当x=2时，y=-2，
即M点坐标为（2，-2）时，△QMA的周长最小．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的性质，同时考查了二次函数与x轴的交点问题、轴对称最短路径问题及待定系数法求一次函数解析式，综合性极强，要对初中数学知识有全面理解方可正确解答．