Question

如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求∠ADB的大小；
（2）求B、D之间的距离；
（3）求C、D之间的距离．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质，以及方向角的定义即可求解；
（2）根据等角对等边，即可证得BD=AB即可求解；
（3）根据等角对等边即可证得BC=CD，然后根据三角函数即可求得CD的长．

解答：解：（1）∵∠EAB=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°，
又∵AE∥BF，
∴∠ABF=180°-∠EAB=120°，
∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=120°+30°=150°，
∴∠ADB=180°-∠DAC-∠ABD=180°-15°-150°=15°；

（2）由（1）可知∠ADB=15°，
∵∠DAC=15°，
∴∠DAC=∠ADB=15°，
∴BD=AB=2km．
即B，D之间的距离是2km；

（3）过B作BO⊥DC，交DC的延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2km，
∵∠FBD=30°，
∴∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=

3

（km），BO=2×cos60°=1，
在Rt△CBO中，
∵∠BCO=∠EAC=60°，
∴∠CBO=30°，CO=BO•tan30°=

3

3

，
∴CD=DO-CO=

3

-

3

3

=

2 3

3

（km）．
即C，D之间的距离

2 3

3

km．

点评：本题主要考查了方向角含义以及三角函数，正确记忆三角函数的定义，把一般三角形通过作高线转化为直角三角形是解决本题的关键．