Question

9．如图，抛物线y=x²-bx+c过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=x²-bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=（x+3）（x+n），将点C的坐标代入可求得n的值，则可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意可得到△OBC和△CDE均为等腰直角三角形，然后求得CE、BC、DE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）先证明tan∠FDB=tan∠CBE，从而得到∠FDB=∠CBE，当$\frac{DM}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$或当∠BMD=∠BCE=45°时，△DMB和△BCE相似．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=（x+3）（x+n），将点C的坐标代入得：3n=-3，解得n=-1．
∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x-1）即y=x²-2x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．

（2）如图1所示：过点E作ED⊥BC，垂足为D．

∵B（3，0），C（0，-3），
∴OC=OB=3．
∴∠OCB=∠OBC=45°，BC=3$\sqrt{2}$
∵点E与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴CE⊥OC，
∴∠DCE=45°．
∵ED⊥CD，
∴△DEB为等腰直角三角形．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为x=1．
∴CE=2．
∴CD=ED=$\sqrt{2}$．
∴BD=BC-CD=2$\sqrt{2}$．
∴tan∠CBE=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

（3）如图2所示：

∵B（3，0），D（-1，-4），
∴A（-1，0），F（1，0）．
∴FB=2，DF=4．
∴tan∠FDB=$\frac{1}{2}$．
∴tan∠FDB=tan∠CBE．
∴∠FDB=∠CBE．
∴当$\frac{DM}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$时，△BCE∽△DBM．
∴$\frac{MD}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，解得：MD=$\frac{10}{3}$．
∴点M的纵坐标=-4+$\frac{10}{3}$=-$\frac{2}{3}$．
∴M（1，-$\frac{2}{3}$）．
如图3所示：

∵∠FDB=∠CBE，
∴当∠BMD=∠BCE=45°时，△DMB∽△BCE．
∴FM=FB=2．
∴M（1，2）．
综上所述，当点M的坐标为（1，-$\frac{2}{3}$）或（1，2）时，△DMB和△BCE相似．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定，找出△DMB和△BCE相似的条件是解答本题的关键．