Question

如图：点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接OD、AD．
（1）求证：AD=BO；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质就可以得出△BOC≌△ADC就可以得出AD=BO；
（2）由旋转可以得出 OC=DC，∠DCO=60°，就可以得出△ODC是等边三角形，就可以得出∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，而得出△AOD的形状；
（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a，就有∠AOD=190°-a，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA，∠AOD=ADO或∠OAD=∠ODA时分别求出a的值即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵OC绕点C按顺时针方向旋转60°，
∴△BOC≌△ADC，
∴AD=BO；

（2）△AOD是直角三角形．
理由：∵△BOC≌△ADC，
∴DC=OC．∠BOC=∠ADC=150°
∵∠DCO=60°，
∴△OCD是等边三角形．
∴∠ODC=60°
∴∠ADC=90°，
∴△AOD是直角三角形．

（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
当∠DAO=∠DOA时，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
当∠AOD=ADO时，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
当∠OAD=∠ODA时，
190°-a+2（a-60°）=180°，
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．

点评：本题考查了等边三角形的判定急性子的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．