Question

如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？
③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可以得到OA=OA′，OB=OB′，则A，B的坐标就可以得到，根据待定系数法就可以求出直线AB的解析式．
（2）①OB=4，C点的位置应分两种情况进行讨论，当C在OB的中点或在中点与B之间时，重合部分是△CDE；当C在OB的中点与O之间时，重合部分是梯形，就可以得到函数解析式．
②求出S与x之间的函数解析式，根据函数的性质就可以得到面积的最值．
③分△ADE以点A为直角顶点和△ADE以点E为直角顶点，两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，求出OE的长，就可以得到C点的坐标．

解答：解：
（1）A（0，2），B（4，0）（2分）
设直线AB的解析式y=kx+b，则有

b=2 4k+b=0

解得

k=- 1 2 b=2

∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+2（3分）

（2）i）①点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE．
则S_△CDE=

1

2

BC×CD=

1

2

(4-x)(-

1

2

x+2)
=

1

4

x2-2x+4
当E与O重合时，CE=

1

2

BO=2
∴2≤x＜4（4分）
②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形
∵△OFE∽△OAB
∴

OF

OE

=

OA

0B

=

1

2

，
∴OF=

1

2

OE
又∵OE=4-2x
∴OF=

1

2

(4-2x)=2-x
∴S四边形CDFO=

x

2

×[2-x+(-

1

2

x+2)]
=-

3

4

x2+2x（5分）
当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0）
∴0＜x＜2（6分）
综合①②得S=

1 4 x2-2x+4(2≤x＜4) - 3 4 x2+2x(0＜x＜2)

（7分）
ii）①当2≤x＜4时，S=

1

4

x2-2x+4=

1

4

(x-4)2
∴对称轴是直线x=4
∵抛物线开口向上，
∴在2≤x＜4中，S随x的增大而减小
∴当x=2时，S的最大值=

1

4

×(2-4)2=1（8分）
②当0＜x＜2时，S=-

3

4

x2+2x=-

3

4

(x-

4

3

)2+

4

3

∴对称轴是直线x=

4

3

∵抛物线开口向下∴当x=

4

3

时，S有最大值为

4

3

（9分）
综合①②当x=

4

3

时，S有最大值为

4

3

（10分）
iii）存在，点C的坐标为（

3

2

，0）和（

5

2

，0）（14分）
附：详解：①当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E，
∵△AOE∽△BOA
∴

EO

AO

=

AO

BO

=

1

2

∵AO=2∴EO=1
∴点E坐标为（-1，0）
∴点C的坐标为（

3

2

，0）②当△ADE以点E为直角顶点时
同样有△AOE∽△BOA

OE

AO

=

OA

BO

=

1

2

∴EO=1∴E（1，0）
∴点C的坐标（

5

2

，0）
综合①②知满足条件的坐标有（

3

2

，0）和（

5

2

，0）．
以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求函数的最值，以及相似三角形的对应边的比相等．