Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB＝2，求△OEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）1

【解析】

（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；

（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OB，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形．

（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，

∴AO＝BO＝CO＝DO，

∴BF＝FC，

∴OF＝CD＝1，

∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，

∴∠EDC＝45°，

在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，

∴△OEC的面积＝ECOF＝1．