Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（3m+1）x+2m2+m（m＞0），与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2．

（1）求2x1﹣x2+3的值；

（2）当m=2x1﹣x2+3时，将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边），求n的取值范围（直接写出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）＜n＜．

【解析】

（1）解关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m=0，结合已知条件可求得x1、x2的值，然后代入2x1﹣x2+3进行计算即可得；

（2）由（1）可知m=2，继而可得抛物线解析式为y=x2﹣7x+10，A（2，0），B（5，0），C（0，10），通过配方可求得抛物线的顶点坐标以及对称轴，由B、C坐标易得直线BC的解析式为y=﹣2x+10，继而可得直线BC与抛物线的对称轴的交点为（，3），继而可求得n的取值范围.

（1）解关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m=0，得x=2m+1或x=m，

∵m＞0，x1＜x2，

∴x1=m，x2=2m+1，

∴2x1﹣x2+3=2m﹣2m﹣1+3=2；

（2）当m=2时，抛物线解析式为y=x2﹣7x+10，A（2，0），B（5，0），C（0，10），

∵y=x2﹣7x+10=（x﹣）2﹣，

∴抛物线的顶点坐标为（，﹣），抛物线的对称轴为直线x=，

易得直线BC的解析式为y=﹣2x+10，

当x=时，y=﹣2x+10=3，则n=，

∴将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边）时，n的取值范围是＜n＜．