Question

12．已知二次函数y=ax²-（a+1）x+1（a＞0）
（1）当a=1时，求二次函数y=ax²-（a+1）x+1（a＞0）的顶点坐标和对称轴．
（2）二次函数y=ax²-（a+1）x+1（a＞0）与x轴的交点横过一个定点，求出这个定点；
（3）当二次函数y=ax²-（a+1）x+1（a＞0）时，x在什么范围内，y随着x的增大而减少？

Answer 1

分析 （1）当a=1时，y=x²-2x+1，把二次函数一般式化成顶点坐标式，进而得到顶点坐标和对称轴；
（2）令y=ax²-（a+1）x+1=0，整理方程得到a（x²-x）+1-x=0，据此可以求出定点的坐标；
（3）先把二次函数y=ax²-（a+1）x+1化成顶点坐标式，根据二次项系数大于0，图象在对称轴的左侧时，y随着x的增大而减少．

解答 解：（1）当a=1时，y=x²-2x+1，
顶点坐标式为y=（x-1）²，
则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x=1；
（2）令y=ax²-（a+1）x+1=0，
a（x²-x）+1-x=0，
当x=1时，a（x²-x）+1-x=0恒成立，
则这个定点为（1，0）；
（3）∵y=ax²-（a+1）x+1（a＞0），
∴y=a$（x-\frac{a+1}{2a}）^{2}+1-\frac{（1+a）^{2}}{4a}$，
∵a＞0，
∴当x＜$\frac{a+1}{2a}$时，y随着x的增大而减少．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点与二次函数的性质的知识，解答本题的关键是能把二次函数的一般式转化成顶点坐标式，掌握对称轴，顶点坐标等知识，此题难度不大．