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如图,在⊙O中,AB为直径,半径OE⊥AB,M为半圆上任意一点,过M作⊙O的切线交OE的延长线与P,过A作弦ACMP,连MB、BC,BM交OP于N点.
(1)求证:MP=PN;
(2)已知AC=4,PE=1,求sin∠ABC的值.
(1)证明:连接OM交AC于H,
∵PM切⊙O于M,
∴∠PMO=90°,
∵OE⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∴∠ONB+∠OBN=90°,∠PMN+∠OMN=90°,
∵OM=OB,
∴∠OMN=∠OBN,
∵∠PNM=∠BNO,
∴∠PMN=∠PNM,
∴MP=PN;

(2)设⊙O的半径为R,
∵ACPM,∠PMO=90°,
∴OM⊥AC,
∴由垂径定理得:AH=CH=
1
2
AC=2,
∴∠OHA=90°=∠PMO,
∵OH⊥AC,
∴∠AHO=∠EOA=90°,
∠A+∠AOH=90°,∠AOH+∠HOP=90°,
∴∠A=∠POM,
∵∠AHO=∠PMO,
∴△AHO△OMP,
AH
AO
=
OM
OP

2
R
=
R
R+1

R=1+
3
,R=1-
3
(半径不能为负数,舍去),
∴AB=2R=2+2
3

sin∠ABC=
AC
AB
=
4
2+2
3
=
3
-1.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠C=30°,CD=
3
,求⊙O的半径.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,矩形纸片ABCD,点E是AB上一点,且BE:EA=5:3,EC=10
5
,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若点B恰好落在AD边上,设这个点为F,则
(1)AB=______,BC=______;
(2)若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则⊙O的面积=______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,一圆外切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

若⊙O的半径长是4cm,圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm,则自A点所引⊙O的切线长为(  )
A.16cmB.4
3
cm
C.4
2
cm
D.4
6
cm

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,平面直角坐标系中,⊙P与x轴分别交于A、B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2
3
.若将⊙P向上平移,则⊙P与x轴相切时点P的坐标为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AB是半圆O的直径,CD垂直AB于D,EC是切线,E为切点.
求证:CE=CF.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,连接OC,交⊙O于点E,弦ADOC.
(1)求证:点E是弧BD的中点;(2)求证:CD是⊙O的切线.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图:EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是______度.

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