Question

13．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．
（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；
（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；
（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是$\widehat{BD}$中点，推出$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；
（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OA，

∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∵OA=OB，
∴∠2=∠ABO，
∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，
∵点C是$\widehat{BD}$中点，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．

（2）如图2中，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，
∴∠BAD=∠BOC，
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，
∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EF=EB．

（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．

∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，
∵∠EFB=∠EBF，
∴∠G=∠HOF，
∵∠HOF=∠EOG，
∴∠G=∠EOG，
∴EG=EO，
∵OH⊥AB，
∴AB=2HB，
∵OE+EB=AB，
∴GE+EB=2HB，
∴GB=2HB，
∴cos∠GBA=$\frac{HB}{GB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠GBA=60°，
∴△EFB是等边三角形，设HF=a，
∵∠FOH=30°，
∴OF=2FH=2a，
∵AB=13，
∴EF=EB=FB=FH+BH=a+$\frac{13}{2}$，
∴OE=EF-OF=FB-OF=$\frac{13}{2}$-a，OB=OC=OE+EC=$\frac{13}{2}$-a+2=$\frac{17}{2}$-a，
∵NE=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$a+$\frac{13}{4}$，
∴ON=OE=EN=（$\frac{13}{2}$-a）-（$\frac{1}{2}$a+$\frac{13}{4}$）=$\frac{13}{4}$-$\frac{3}{2}$a，
∵BO²-ON²=EB²-EN²，
∴（$\frac{17}{2}$-a）²-（$\frac{13}{4}$-$\frac{3}{2}$a）²=（a+$\frac{13}{2}$）²-（$\frac{1}{2}$a+$\frac{13}{4}$）²，
解得a=$\frac{3}{2}$或-10（舍弃），
∴OE=5，EB=8，OB=7，
∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC，AC=AC，
∴△ACK≌△ACT，
∴CK=CT，AK=AT，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$，
∴DC=BC，
∴Rt△DKC≌Rt△BTC，
∴DK=BT，
∵FT=$\frac{1}{2}$FC=5，
∴DK=TB=FB-FT=3，
∴AK=AT=AB-TB=10，
∴AD=AK-DK=10-3=7．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．