Question

（2013•高淳县二模）如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

Answer 1

分析：依据三角形的内角和定理可以判定四边形A′B′C′D′的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形．

解答：证明：在正方形ABCD中，
∵在△ABF和△BCG中，

AB=BC ∠ABC=∠BCD BF=CG

∴△ABF≌△BCG（SAS）
∴∠BAF=∠GBC，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠GBC+∠AFB=90°，
∴∠BB′F=90°，
∴∠A′B′C′=90°．
∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，
∴四边形A′B′C′D′是矩形．
∵在△AB′B和△BC′C中，

∠BAF=∠GBC ∠AB′B=∠BC′C AB=BC

∴△AB′B≌△BC′C（AAS），
∴AB′=BC′
∵在△AA′E和△BB′F中，

∠BAF=∠GBC ∠AA′E=∠BB′F AE=BF

∴△AA′E≌△BB′F（AAS），
∴AA′=BB′
∴A′B′=B′C′
∴矩形A′B′C′D′是正方形．

点评：本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形．