如图1.已知抛物线y=ax2-2ax+4与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.且OB=OC．(1)求抛物线的函数表达式,(2)若点P是线段AB上的一个动点.分别以AP.BP为一边.在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN.求△PMN的最大面积.并写出此时点P的坐标,(3)如图2.若抛物线的对称轴与x轴交于点D.F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点.直线FD与y轴交于点E．是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图1，已知抛物线y=ax²-2ax+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；
（3）如图2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）令x=0得，y=4，求出点C（0，4），根据OB=OC=4，得到点B（4，0）代入抛物线表达式求出a的值，即可解答；
（2）过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，设P（x，0），△PMN的面积为S，分别表示出PG=$\frac{2+x}{2}$，MG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{2+x}）$，PH=$\frac{4-x}{2}$，NH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{4-x}）$，根据S=S_梯形MGHN-S_△PMG-S_△PNH=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{x-1}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，利用二次函数的性质当x=1时，S有最大值是$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，即可解答；
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA，先求出点E的坐标，再求出直线DE的解析式，利用方程组求出点F的坐标，即可解答．

解答解：（1）令x=0得，y=4，∴C（0，4）
∴OB=OC=4，∴B（4，0）
代入抛物线表达式得：
16a-8a+4=0，解得a=$-\frac{1}{2}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$
（2）如图2，过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，

由抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$得：A（-2，0），
设P（x，0），△PMN的面积为S，
则PG=$\frac{2+x}{2}$，MG=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{2+x}）$，PH=$\frac{4-x}{2}$，NH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（{4-x}）$
∴S=S_梯形MGHN-S_△PMG-S_△PNH
=$\frac{1}{2}（{MG+NH}）×GH-\frac{1}{2}PG×MG-\frac{1}{2}PH×NH$
=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{x^2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+2\sqrt{3}$
=$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{x-1}）^2}+\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
∵$-\frac{{\sqrt{3}}}{4}＜0$，
∴当x=1时，S有最大值是$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
∴△PMN的最大面积是$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，此时点P的坐标是（1，0）
（3）存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$得：A（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴OA=2，OC=4，OD=1
①若△DOE∽△AOC，则$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OC}$
∴$\frac{1}{2}=\frac{OE}{4}$，
解得OE=2
∴点E的坐标是（0，2）或（0，-2）
若点E的坐标是（0，2），
则直线DE为：y=-2x+2
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4\end{array}\right.$
得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=3+\sqrt{13}\\{y_1}=-4-2\sqrt{13}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=3-\sqrt{13}\\{y_2}=-4+2\sqrt{13}\end{array}\right.$（不合题意，舍去）
此时满足条件的点F₁的坐标为（$3+\sqrt{13}$，$-4-2\sqrt{13}$）
若点E的坐标是（0，-2），
同理可求得满足条件的点F₂的坐标为（$-1+\sqrt{13}$，$-3+2\sqrt{13}$）
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得满足条件的点F₃的坐标为（$\frac{{\sqrt{37}+3}}{2}$，$-\frac{{\sqrt{37}+1}}{4}$）
满足条件的点F₄的坐标为（$\frac{{\sqrt{37}+1}}{2}$，$\frac{{\sqrt{37}-1}}{4}$）
综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：
F₁（$3+\sqrt{13}$，$-4-2\sqrt{13}$）、F₂（$-1+\sqrt{13}$，$-3+2\sqrt{13}$）、F₃（$\frac{{\sqrt{37}+3}}{2}$，$-\frac{{\sqrt{37}+1}}{4}$）或F₄（$\frac{{\sqrt{37}+1}}{2}$，$\frac{{\sqrt{37}-1}}{4}$）．

点评本题考查了二次函数的性质、相似三角形的性质与判定，在（2）中利用二次函数的性质解决最值问题是关键，在（3）中分类讨论思想的应用是解决本题的关键．

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