Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a=，c=2+b且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer 1

（1）该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；
（2）b=3或b=；
（3）存在两个不同实数x，使得相应y=1．

解析试题分析：（1）直接将a=b=1，c=﹣1代入求出即可；
（2）利用当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，此时﹣3=（﹣2）²+2×（﹣2）b+b+2；当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=2²+2×2b+b+2；当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，分别求出符合题意的答案即可；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，则△=4b²﹣12a（c﹣1），求出其符号得出答案即可．
试题解析：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x²+2x﹣1，
∵方程3x²+2x﹣1=0的两个根为：x₁=﹣1，x₂=．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；
（2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x²+2bx+b+2，
其对称轴为：x=﹣b，
当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，
此时﹣3=（﹣2）²+2×（﹣2）b+b+2，
解得：b=3，符合题意，
当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=﹣，不合题意，舍去．
当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，
此时﹣3=（﹣b）²+2×（﹣b）b+b+2，
化简得：b²﹣b﹣5=0，
解得：b₁=（不合题意，舍去），b₂=．
综上：b=3或b=；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²﹣12a（c﹣1），
=4b²﹣12a（﹣a﹣b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+a）²+a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x，使得相应y=1．
考点：二次函数综合题．