Question

【题目】已知y1=a1（x﹣m）2+5，点（m，25）在抛物线y2=a2x2+b2x+c2上，其中m＞0．

（1）若a1=﹣1，点（1，4）在抛物线y1=a1（x﹣m）2+5上，求m的值；

（2）记O为坐标原点，抛物线y2=a2x2+b2x+c2的顶点为M，若c2=0，点A（2，0）在此抛物线上，∠OMA=90°，求点M的坐标；

（3）若y1+y2=x2+16x+13，且4a2c2﹣b22=﹣8a2，求抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）m=2；（2）M（1，﹣1）；（3）y2=3x2+12x+10．

【解析】试题分析：（1）把点代入求值.(2)把已知点代入可求得抛物线对称轴，由对称性可知△OAM是等腰三角形，所以可以得到M点坐标.

(3)利用待定系数法，结合已知联立方程组求解，利用代入消元技巧，可求得抛物线解析式.

试题解析：

（1）∵a1=﹣1，∴y1=﹣（x﹣m）2+5．

将（1，4）代入y1=﹣（x﹣m）2+5，得

　4=﹣（1﹣m）2+5．

m=0或m=2．∵m＞0，∴m=2．

（2）∵c2=0，∴抛物线y2=a2 x2+b2 x,

将（2，0）代入y2=a2 x2+b2 x，得4a2+2b2=0．即b2=﹣2a2，

∴抛物线的对称轴是x=1,

设对称轴与x轴交于点N，根据抛物线的对称性得，△OAM是等腰三角形，

∴NA=NO=1,

∵∠OMA=90°，

∴MN=OA=1，∴当a2＞0时，M（1，﹣1）,

当a2＜0时，M（1，1）,

∵25＞1，∴M（1，﹣1）.

（3）方法一：∵点（m，25）在抛物线y2=a2 x2+b2x+c2上，

∴a2 m 2+b2 m+c2=25①，

∵y1+y2=（a1+a2）x2+（b2﹣2a1m）x+5+a1m2+c2=x2+16x+13，

∴a1+a2=1②，b2﹣2a1m=16③,a1m2+c2=8④，

由③得，b2m=16m+2a1m2⑤，由④得，c2=8a1m2⑥，

将⑤⑥代入方程①得，a2 m 2+16m+2 m 2 a1+8﹣m 2 a1=25,

整理得，m 2+16m﹣17=0，

解得m1=1，m2=﹣17，

∵m＞0，∴m=1,

将m=1代入③得，b2=16+2a1=12+2（1﹣a2）=18﹣2a2，将m=1代入④得，c2=8﹣a1=8﹣（1﹣a2）=7+a2．

∵4a2 c2﹣b22=﹣8a2，∴4a2（7+a2）﹣（18﹣2a2）2=﹣8a2，

∴a2=3，∴b2=18﹣2×3=12，c2=7+3=10，

∴抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式为y=3x2+12x+10．

方法二，由题意知，当x=m时，y1=5；当x=m时，y2=25，

∴当x=m时，y1+y2=5+25=30，

∵y1+y2=x2+16 x+13，∴30=m2+16m+13．

解得m1=1，m2=﹣17．

∵m＞0，∴m=1，

∵4a2 c2﹣b22=﹣8a2，∴ = =﹣2，

∴y2 顶点的纵坐标为﹣2，

设抛物线y2的解析式为y2=a2 （x﹣h）2﹣2，∴y1+y2=a1 （x﹣1）2+5+a2 （x﹣h）2﹣2．

∵y1+y2=（a1+a2）x2﹣2（a1+a2h）x+a1+a2h2+3=x2+16 x+13，∴a1+a2=1①，﹣2（a1+a2h）=16②，a1+a2h2+3=13③，将①代入②③化简得，a2h﹣a2=﹣9④，a2h2﹣a2=9⑤，联立④⑤，解得h=﹣2，a2=3，

∴抛物线的解析式为y2=3（x+2）2﹣2=3x2+12x+10．

方法三、由题意知，当x=m时，y1=5；当x=m时，y2=25，

∴当x=m时，y1+y2=5+25=30，

∵y1+y2=x2+16x+13，∴30=m2+16m+13，

∴m=1或m=﹣17，∵m＞0，∴m=1，∴y1=a1 （x﹣1）+5，

∵y1+y2=x2+16x+13，∴y2=x2+16 x+13﹣y1

=x2+16x+13﹣a1 （x﹣1）2﹣5，

即y2=（1﹣a1）x2+（16+2a1）x+8﹣a1，

∵4a2c2﹣b22=﹣8a2，∴ = =﹣2，

∴y2 顶点的纵坐标为﹣2，∴ =-2，

∴a1=﹣2，∴y2=3x2+12x+10．