Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点F在直线BC上，且△PFB为直角三角形，求点F的坐标．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B、C、P的坐标，过点F作x轴的平行线与过点P作y轴的平行线交于点E，由BC的坐标即可得出直线BC的解析式，设出点F的坐标，即可得出点E的坐标，根据平行线的性质即可判断出△PEF为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，再将其代入点F的坐标中即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）；
当y=0时，有-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴点B的坐标为（4，0）；
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴点P的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）．
过点F作x轴的平行线与过点P作y轴的平行线交于点E，如图所示．
∵点B（4，0），点C（0，4），
∴∠OBC=45°，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
设点F的坐标为（m，4-m），则点E（1，4-m），
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠OBC=45°，
∴∠PFE=∠PFB-∠BFE=45°，
又∵EF∥x轴，PE∥y轴，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∴EF=PE，即1-m=$\frac{9}{2}$-（4-m），
解得：m=$\frac{1}{4}$，
∴点F的坐标为（$\frac{1}{4}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、平行线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，但解决该问题中用到的知识点较多，稍显复杂．