Question

3．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，ON⊥CP于N．
（1）当AP=CP时，求QP；
（2）若CP⊥AB，求CQ；
（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

Answer 1

分析 （1）根据AP=CP，∠ACB=90°，可得BP=CP，再根据PQ平分∠BPC，可得Q是BC的中点，而P是AB的中点，即可得出PQ=$\frac{1}{2}$AC=3；
（2）先根据面积法求得PC=$\frac{24}{5}$，再设AP=x，根据勾股定理可得方程6²-x²=8²-（10-x）²，解得x=$\frac{18}{5}$，求得BP=$\frac{32}{5}$，再根据△BMQ∽△BPC，得出$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BM}{MQ}$=$\frac{BM}{MP}$=$\frac{BQ}{QC}$，即CQ=$\frac{PC×BQ}{BP}$，进而得出CQ=$\frac{3}{4}$（8-CQ），解得CQ=$\frac{24}{7}$；
（3）根据∠B=∠QPC，∠PCQ=∠BCP，即可判定△CPQ∽△CBP，进而得到$\frac{CP}{BC}$=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{PQ}{BP}$①，可得CP=5，由①可得，CQ=$\frac{25}{8}$，即可得到BQ=$\frac{39}{8}$，再求得Rt△BMQ中，BM=BQ×cosB=$\frac{39}{10}$，即可得到AP=AB-2BM=$\frac{11}{5}$．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=10，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BC=AB×sinA=8，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6，
∵AP=CP，
∴∠A=∠PCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠B=∠BCP，
∴BP=CP，
又∵PQ平分∠BPC，
∴Q是BC的中点，
又∵BP=CP=AP，
∴P是AB的中点，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=3；

（2）∵CP⊥AB，∠ACB=90°，
∴$\frac{1}{2}$×AB×CP=$\frac{1}{2}$×AC×BC，
∴PC=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
设AP=x，则
Rt△ACP中，PC²=6²-x²，
Rt△BCP中，PC²=8²-（10-x）²，
∴6²-x²=8²-（10-x）²，
解得x=$\frac{18}{5}$，
∴BP=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，
又∵CP⊥AB，QM⊥AB，
∴QM∥CP，
∴△BMQ∽△BPC，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BM}{MQ}$=$\frac{BM}{MP}$=$\frac{BQ}{QC}$，
∴CQ=$\frac{PC×BQ}{BP}$，即CQ=$\frac{3}{4}$（8-CQ），
解得CQ=$\frac{24}{7}$；

（3）由角平分线的性质易得S_△PMQ=S_△PNQ=$\frac{1}{2}$×PM×QM，
∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，
∴PM×QM=$\frac{1}{2}$BP×QM，
∴PM=$\frac{1}{2}$BP，
∴QM是PB的垂直平分线，
∴∠QPB=∠B，
∵∠QPB=∠QPC，
∴∠B=∠QPC，
又∵∠PCQ=∠BCP，
∴△CPQ∽△CBP，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{PQ}{BP}$①，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{BQ}{2BM}$，即CP=4×$\frac{BQ}{BM}$=4×$\frac{5}{4}$=5，
由①可得，CQ=$\frac{C{P}^{2}}{BC}$=$\frac{25}{8}$，
∴BQ=8-CQ=$\frac{39}{8}$，
∴Rt△BMQ中，BM=BQ×cosB=$\frac{39}{8}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{39}{10}$，
∴AP=AB-2BM=10-2×$\frac{39}{10}$=$\frac{11}{5}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．