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如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥精英家教网AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若OA=10,BC=16,求BE的长.
分析:(1)首先由AB是半圆O的直径可以得到∠ACB=90°,由OD∥AC利用平行线的性质可以得到∠EDB=90°,而∠OEB=∠ABC,由此可以证明∠ABC+∠DBE=90°,最后利用切线的判定即可证明题目的结论;
(2)首先利用勾股定理可以求出线段BC的长度,同时可以利用已知条件证明△ACB∽△OBE,然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解.
解答:(1)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OD∥AC,
∴∠EDB=90°,
∴∠OEB+∠DBE=90°,
而∠OEB=∠ABC,
∴∠ABC+∠DBE=90°,
∴∠ABE=90°,∵OB为半径,
∴BE是⊙O的切线;

(2)解:由(1)知道△ABC是直角三角形,
∴AC=
AB2-BC2
=12,
∵∠OEB=∠ABC,∠OBE=∠C=90°,
∴△ACB∽△OBE,
∴OB:AC=BE:BC,
而OA=10,BC=16,
∴10:12=BE:16,
∴BE=
40
3
点评:此题主要考查了圆的切线的性质与判定,也利用相似三角形的性质与判定解决问题,解题时首先利用已知条件证明切线,然后利用相似三角形的性质解决问题.
练习册系列答案
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