Question

古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x²+ax=b²（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以

a

2

和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=

a

2

，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长．
（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．

解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=

a

2

，AC=b，
∴AB=

b2+ a2 4

，
∴AD=

b2+ a2 4

-

a

2

=

4b2+a2 -a

2

；

（2）用求根公式求得：x1=

- 4b2+a2 -a

2

；x2=

4b2+a2 -a

2

（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分）

点评：本题考查了一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．