Question

18．已知点M（x，y）是一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1图象上的一点，点A（-1，2），点B（-7，2）．
（1）求|AM|+|BM|的最小值，及取得最小值时点M的坐标；
（2）当|AM|+|BM|取得最小值时，求△ABM的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，作点A关于直线y=$\frac{1}{2}$x+1的对称点C，连接BC交直线y=$\frac{1}{2}$x+1于M，此时|AM|+|BM|的值最小，最小值为BC的长．求出点C的坐标，再求出直线BC的解析式，解方程组可得点M坐标．
（2）利用三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图，作点A关于直线y=$\frac{1}{2}$x+1的对称点C，连接BC交直线y=$\frac{1}{2}$x+1于M，此时|AM|+|BM|的值最小，最小值为BC的长．

∵直线AC的解析式为y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴N（-$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∵A（-1，2），AN=CN，B（-7，2）
∴C（$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴点M坐标（-$\frac{8}{5}$，$\frac{1}{5}$），最小值为BC=$\sqrt{（-2-\frac{1}{5}）^{2}+（7+\frac{2}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1490}}{5}$

（2）当|AM|+|BM|取得最小值时，△ABM的面积=$\frac{1}{2}$•6•（2-$\frac{1}{5}$）=$\frac{27}{5}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、一次函数图象上的点的特征，三角形的面积公式，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会求点关于直线的对称点的坐标，属于中考常考题型．