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如图,已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;

(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.

 

见解析

解析:(1)由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0).

设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.

解得

(2)由=

∴顶点坐标为G(1,).

过G作GH⊥AB,垂足为H.

则AH=BH=1,GH=﹣2=

∵EA⊥AB,GH⊥AB,

∴EA∥GH.

∴GH是△BEA的中位线.

∴EA=2GH=

过B作BM⊥OC,垂足为M.则MB=OA=AB.

∵∠EBF=∠ABM=90°,

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF.

∴Rt△EBA≌Rt△FBM.

∴FM=EA=

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1,

∴CF=FM+CM=

3)设CF=a,则FM=a-1或1- a

        ∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .

        ∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.

        则,                  

        又∵,                

          ∴,即

∴当a=2(在0<a<3范围内)时,

          ∴ .                             

 

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(18,6)
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