如图,已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
见解析
解析:(1)由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0).
设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
则,
解得,
∴.
(2)由=
.
∴顶点坐标为G(1,
).
过G作GH⊥AB,垂足为H.
则AH=BH=1,GH=﹣2=
.
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH.
∴GH是△BEA的中位线.
∴EA=2GH=.
过B作BM⊥OC,垂足为M.则MB=OA=AB.
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF.
∴Rt△EBA≌Rt△FBM.
∴FM=EA=.
∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1,
∴CF=FM+CM=.
3)设CF=a,则FM=a-1或1- a,
∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .
∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.
则,
又∵,
∴,即
,
∴当a=2(在0<a<3范围内)时,
∴ .
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