Question

26、如图，已知?ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．
（1）试说明DE=BC；
（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）AE平分∠BAD，则∠BAE=∠DAE；AB∥CD，则∠BAE=∠DEA，从而有∠DAE=∠DEA，所以，DE=DA，再根据平行四边形的对边相等，证明DE=BC；
（2）结论：AB=DG+FC；将△CDF平移到△ABH的位置，将△ADG顺时针旋转90°到△AHI的位置，证明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，即可．

解答：解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AB∥DC．
所以∠BAE=∠DEA．
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE=∠DAE．
所以∠DEA=∠DAE．
所以AD=DE．
所以DE=BC．
（2）AB=DG+FC
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC、所以∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
因为∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，所以F，B，H三点共线，
所以BF+HB=BF+FC，从而FH=BC=AD=DF=AH．
所以四边形AHFD为正方形．
所以∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，所以I，H，B三点共线．
因为AE平分∠BAD，所以∠BAG=∠DAG，
所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
因为AH∥DF，所以∠HAG=∠DGA，
所以∠BIA=∠DGA=∠BAI．所以AB=IB．
因为IB=IH+HB=DG+FC，所以AB=DG+FC．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判断，用平移，旋转的方法证明问题的能力．