Question

如下图，已知△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s．连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ∥BC．

(2)设△AQP面积为S(单位：cm²)，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．

(3)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

(4)如下图，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解； 　　(2)如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值； 　　(3)要点是利用(2)中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分； 　　(4)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用(2)中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算． 　　解答：解：∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， 　　∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． 　　(1)BP＝2t，则AP＝10－2t． 　　∵PQ∥BC，∴，即，解得t＝， 　　∴当t＝s时，PQ∥BC． 　　(2)如图所示，过P点作PD⊥AC于点D． 　　∴PD∥BC，∴，即，解得PD＝6－t． 　　S＝×AQ×PD＝×2t×(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－)2＋， 　　∴当t＝s时，S取得最大值，最大值为cm2． 　　(3)假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 　　则有S△AQP＝S△ABC，而S△ABC＝AC·BC＝24，∴此时S△AQP＝12． 　　由(2)可知，S△AQP＝－t2＋6t， 　　∴－t2＋6t＝12，化简得：t2－5t＋10＝0， 　　∵△＝(－5)2－4×1×10＝－15＜0，此方程无解， 　　∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． 　　(4)假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ＝PQ＝BP＝2t． 　　如图所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， 　　∴，即， 　　解得：PD＝6－t，AD＝8－t， 　　∴QD＝AD－AQ＝8－t－2t＝8－t． 　　在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2＋PD2＝PQ2， 　　即(8－t)2＋(6－t)2＝(2t)2， 　　化简得：13t2－90t＋125＝0， 　　解得：t1＝5，t2＝， 　　∵t＝5s时，AQ＝10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t＝． 　　由(2)可知，S△AQP＝－t2＋6t 　　∴S菱形AQPQ′＝2S△AQP＝2×(－t2＋6t)＝2×[－×()2＋6×]＝cm2． 　　所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2． 　　点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．

提示：

考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换(折叠问题)．