分析 (1)利用交点式求抛物线解析式;
(2)先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=2,再利用二次函数图象上点的坐标特征求出P($\frac{9}{2}$,$\frac{11}{4}$),如图1,由于点A与点B关于直线x=2对称,连结PA交直线x=2于点G,则PG+BG=GA+GP=AP,根据两点之间线段最短得到此时PG+GB最小,接着利用待定系数法求出直线PA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$,然后计算自变量为2的函数值即可得到点G的坐标;
(3)如图2,根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征,设P(x,-x2+4x+5),E(x,-$\frac{3}{4}$x+3),则可计算出PE=|-x2+$\frac{19}{4}$x+2|,接着求出C(0,3),于是可计算出CE=|$\frac{5}{4}$x|,然后利用对称的性质和平行线的性质证明PE=CE,所以|-x2+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|,即-x2+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x,再分别解方程求出x得到P点坐标,当点E与C重合,易得P点坐标为(0,5).
解答 解:(1)抛物线解析式为y=-(x+1)(x-5)=-x2+4x+5;
(2)∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
∵x=$\frac{9}{2}$时,y=-x2+4x+5=$\frac{11}{4}$,
∴P($\frac{9}{2}$,$\frac{11}{4}$),
如图1,点A与点B关于直线x=2对称,连结PA交直线x=2于点G,此时PG+GB最小,
设直线PA的解析式为y=kx+n,
把P($\frac{9}{2}$,$\frac{11}{4}$),A(-1,0)分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+n=\frac{11}{4}}\\{-k+n=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
∴直线PA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$,
∵当x=2时,y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴点G的坐标为(2,$\frac{3}{2}$);
(3)如图2,设P(x,-x2+4x+5),则E(x,-$\frac{3}{4}$x+3),
∴PE=|-x2+4x+5-(-$\frac{3}{4}$x+3)|=|-x2+$\frac{19}{4}$x+2|,
当x=0时,y=-$\frac{3}{4}$x+3=3,则C(0,3),
∴CE=$\sqrt{{x}^{2}+(-\frac{3}{4}x+3-3)^{2}}$=|$\frac{5}{4}$x|,
∵E′是点E关于直线PC的对称点,
∴PE=PE′,∠EPC=∠E′PC,CE′=CE,
∵PE∥CE′,
∴∠E′CP=∠EPC,
∴∠E′CP=∠E′PC,
∴E′C=E′P,
∴PE=CE,
∴|-x2+$\frac{19}{4}$x+2|=|$\frac{5}{4}$x|,即-x2+$\frac{19}{4}$x+2=±$\frac{5}{4}$x,
当-x2+$\frac{19}{4}$x+2=$\frac{5}{4}$x,解得x1=-$\frac{1}{2}$,x2=4,此时P点坐标为($\frac{1}{2}$,$\frac{11}{4}$),(4,5);
当-x2+$\frac{19}{4}$x+2=-$\frac{5}{4}$x,解得x1=3-$\sqrt{11}$,x2=3+$\sqrt{11}$(舍去),此时P点坐标为(3-$\sqrt{11}$,2$\sqrt{11}$-3),
当点E与C重合,E关于PC的对称点E'与E重合,此时点P在y轴上,其坐标为(0,5),
综上所述,符合条件的点P为($\frac{1}{2}$,$\frac{11}{4}$),(4,5),(3-$\sqrt{11}$,2$\sqrt{11}$-3),(0,5).
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和对称的性质;理解坐标与图形性质,会利用两点间的距离公式计算线段的长;会解决最短路径问题;熟练一元二次方程的解法.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | (a3)2=a5 | B. | ($\frac{1}{2}$a3b)2=$\frac{1}{4}$a6b2 | C. | (-x-y)2=x2-2xy+y2 | D. | (-a-b)(a+b)=a2-b2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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项目 | A音乐 | B绘画 | C田径 | D球类 | E其他 |
频数 | 正正正正正正 | ||||
人数(人) | 20 |
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A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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