Question

在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有A、B两个村庄．若以公路为x轴建立平面直角坐标系，如图1：已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．
（1）汽车行驶过程中到A、B两村距离之和最小为多少？
（2）汽车行驶过程中到A、B两村距离之差最大为多少？

Answer 1

解：（1）如图1，作点A关于x轴的对称点A'（2，-2）
则A′B的长即为A、B两村距离之和的最小值，
∵B（7，4），
∴A′B==；

（2）如图2，∵点P在A，B延长线上时，到A，B两村距离之差最大，
∴AB===．

分析：（1）作点A关于x轴的对称点A'，连接A′B，则A′B的长即为A、B两村距离之和的最小值，利用两点间的距离公式求出A′B的长即可；
（2）因为当点P在A，B延长线上时，到A，B两村距离之差最大，故直接利用两点间的距离公式求出AB的长即可．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点，再利用两点间距离公式解答．