Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，点E在边CD上移动连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′CE，点B、C的对应点分别为点B′、C′

(1)当点E与点C重合时，设B′C′与AD的交点为F，若AD＝4DF，则AD＝______

(2)若AD＝6，B′C′的中点记为P，则DP的取值范围是______

Answer 1

【答案】4 1≤DP≤5．

【解析】

（1）如图1，当点E与点C重合时，易知△AB'C≌△DCA，得到AF=CF，设DF＝x，则AD＝4x，得AF＝CF＝AD＝DF＝3x，Rt△CDF中利用勾股定理解出x，然后得到AD＝4x即可 （2）如图2，点P的轨迹是以A为圆心，AP的长为半径的圆上的一段弧，当点E与点D重合时DP的值最大，易得B'P＝C'P6＝3，B'A＝C'D＝4，则AP=DP=5；当点P在AD上时，即在点P'处时，DP的值最小此时，AP＝AP'＝5，得DP'＝AD﹣AP'＝6﹣5＝1，所以DP的最小值为1，

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD＝4，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

如图1，当点E与点C重合时，

由翻折知，△AB'C≌△DCA，

∴∠ACB'＝∠ACB，

∴∠DAC＝∠ACB'，

∴AF＝CF，

设DF＝x，则AD＝4x，

∴AF＝CF＝AD＝DF＝3x，

在Rt△CDF中，CF2＝DF2+CD2，

∴(3x)2＝x2+42，

解得，x1(舍去)，x2，

∴AD＝4x＝4，

故答案为：4；

(2)如图2，点P的轨迹是以A为圆心，AP的长为半径的圆上的一段弧，当点E与点D重合时DP的值最大，

∵点P是B'C'的中点，

∴B'P＝C'P6＝3，B'A＝C'D＝4，

∴AP＝DP5，

∴DP的最大值为5，

由图可看出，当点P在AD上时，即在点P'处时，DP的值最小，

此时，AP＝AP'＝5，

∴DP'＝AD﹣AP'＝6﹣5＝1，

∴DP的最小值为1，

故答案为：1≤DP≤5．