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16.如图,直线y=kx+b与坐标轴相交于点M(3,0),N(0,4).
(1)求直线MN的解析式;
(2)根据图象,写出不等式kx+b≥0的解集;
(3)若点P在x轴上,且点P到直线y=kx+b的距离为$\frac{12}{5}$,直接写出符合条件的点P的坐标.

分析 (1)把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式,列出关于系数k、b的方程组,通过解方程组求得它们的值;
(2)直线y=kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求;
(3)作△OMN的高OA.在Rt△OMN中利用勾股定理求出MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5.根据三角形的面积公式求出OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$,则点P的坐标是(0,0);在x轴上作O关于M的对称点为(6,0),易得(6,0)到直线y=kx+b的距离也为$\frac{12}{5}$.

解答 解:(1)∵直线y=kx+b与坐标轴相交于点M(3,0),N(0,4),
所以$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴直线MN的解析式为:y=-$\frac{4}{3}$x+4;

(2)根据图形可知,当x≤3时,y=kx+b在x轴及其上方,即kx+b≥0,
则不等式kx+b≥0的解集为x≤3;

(3)如图,作△OMN的高OA.
在Rt△OMN中,∵OM=3,ON=4,∠MON=90°,
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5.
∵S△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OA=$\frac{1}{2}$OM•ON,
∴OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$,
∴点P的坐标是(0,0);
在x轴上作O关于M的对称点为(6,0),易得(6,0)到直线y=kx+b的距离也为$\frac{12}{5}$,
所以点P的坐标是(0,0)或(6,0).

点评 本题考查了一次函数与一元一次不等式,待定系数法求一次函数解析式,三角形的面积,点到直线的距离,勾股定理.难度适中.

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