Question

19．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（6，0），点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）图2中，点E运动时，当点G恰好落在BC上时，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A与B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出a与b的值，从而可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DM⊥对称轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，容易求出C、D、M的坐标，从而可求出AD、DM、DG的长度，由于点G在抛物线上，可设G（1，n），由勾股定理可列出方程求出n的值；
（3）当点G恰好落在BC上时，由对称性可知：AD=DG=CD，所以A、C、G三点在以D为圆心，AD为半径的圆上，连接AG，所以∠AGC=90°，从而可知ED∥BC，求出直线BC的解析式，从而可求出ED的解析式，联立直线DE的解析式与抛物线的解析式即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+8经过点A（-4，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+8=0}\\{36a+6b+8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8；   

（2）过点D作DM⊥对称轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，
令x=0代入y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8，
∴y=8，
∴C（0，8），
∴OC=8，
∵点D为AC的中点，DF∥OC
∴DF是△AOC的中位线，
∴FO=2，DF=$\frac{1}{2}$OC=4，
∴D（-2，4），
在Rt△AOC中，
由勾股定理可知：AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵点A与点G关于直线DE对称，
∴DG=AD=2$\sqrt{5}$，
由（1）可知：抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+8的对称轴为：x=1，
∴M的坐标为（1，4），
∴DM=1-（-2）=3，
当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，
设G点的坐标为（1，n），
∴MG=|4-n|，
在Rt△GDM中，DG²=DM²+MG²，
3²+（4-n）²=20，解得n=4±$\sqrt{11}$，
∴G点的坐标为（1，4+$\sqrt{11}$）或（1，4-$\sqrt{11}$）；

（3）当点G恰好落在BC上时，
由对称性可知：AD=DG=CD，
∴A、C、G三点在以D为圆心，AD为半径的圆上，
连接AG，
由于AC是⊙D的直径，
∴∠AGC=90°，
∵点A与点G关于ED对称，
∴ED⊥AG，
∴ED∥CG，
设直线BC的解析式为：y=kx+m，
将点C（0.8）、B（6，0）代入y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+m=0}\\{m=8}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{m=8}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+8，
∴可设直线ED的直线解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+d，
将D（-2，4）代入y=-$\frac{4}{3}$x+d，
∴4=$\frac{8}{3}$+d，
∴d=$\frac{4}{3}$，
∴直线ED的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+8}\end{array}\right.$
解得：x=3±$\sqrt{29}$，
∵E是抛物线在第二象限图象上一动点，
∴E点的坐标为（$3-\sqrt{29}，\frac{{4\sqrt{29}-8}}{3}$）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理、圆周角定理，待定系数法求解析式，对称性，中位线的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．