【题目】 阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
【答案】(1)x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;(2);(3)抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
【解析】
试题(1)根据特征线直接求出点D的特征线;
(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;
(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
试题解析:解:(1)∵点D(m,n),∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
(2)点D有一条特征线是y=x+1,∴n﹣m=1,∴n=m+1.∵抛物线解析式为,∴,∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),∴B(2m,2m),∴,将n=m+1带入得到m=2,n=3;
∴D(2,3),∴抛物线解析式为.
(3)①如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时:
根据题意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠A′OM=60°,∴∠A′OP=∠AOP=30°,∴MN==,∴抛物线需要向下平移的距离==.
②如图,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,设A′(p,3),则OA′=OA=4,OE=3,EA′==,∴A′F=4﹣,设P(4,c)(c>0),,在Rt△A′FP中,(4﹣)2+(3﹣c)2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直线OP解析式为y=x,∴N(2,),∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.
综上所述:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
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【题目】射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值 (单位:秒)
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D为△ABC内的一点,∠ADB=120°,∠ADC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE,连接DE.
(1)求证:AD=DE;
(2)求∠DCE的度数;
(3)若BD=1,求AD,CD的长.
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【题目】已知k为实数,关于x的方程为x2+(k+2)x+2k=1.
(1)判断方程有无实数根.
(2)当方程的根和k都是有理数时,请直接写出其中k的1个值和相应方程的根.
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【题目】如图,矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点,连接EF,若AB=8,且EF平分∠BED,则AD的长为_________
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【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正确的是( )
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)证明:DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
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