[题目]定义:如图1.在△ABC和△ADE中.AB=AC=AD=AE.当∠BAC+∠DAE=180°时.我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形 .△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距 .△ADE的边DE上的高线AN叫做△ABC的“顶心距 .点A叫做“顶补中心 .特例感知(1)图2.图3中.△ABC与△DAE互为“顶补� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】定义:如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，△ADE的边DE上的高线AN叫做△ABC的“顶心距”，点A叫做“顶补中心”.

特例感知

（1）图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM，AN是“顶心距”,

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=_________DE,

②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为_________,

猜想论证

（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明.

拓展应用

（3）如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形|ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”?若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)①；②3； (2) AM=DE，证明见解析； (3)存在，证明见解析， PM =1.

【解析】分析：(1)①证△BAC≌△DAE，得BC＝DE，由等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得结论；②在△ABM中，用勾股定理求AB，根据△ADE是等边三角形求解；(2)用AAS证明△BAM≌△AND，得AM＝ND，而DE＝2ND；(3)连接AC，证明△ADC≌△ABC，得PA＝PB＝PC＝PD，证明∠APD＋∠BPC＝180°，得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”，结合(2)的结论求△PBC的“顶心距”的长.

详解：(1)①∵∠BAC＝90，

又∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.

又∵AB＝AC＝AD＝AE，

∴△BAC≌△DAE，∴BC＝DE.

Rt△ABC中，AM是BC边上的高，

∴AM＝BC，AM＝DE.

故答案为.

②∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝30.

Rt△ABM中，AB＝6，由勾股定理得，AM＝3，BM＝，

∴AD＝2.

∵∠BAC＋∠DAE＝180°，

∴∠DAE＝60°，

又∵DA＝EA，∴△ADE是等边三角形，

∴∠AND＝90°，∠DAN＝30°，∴DN＝，AN＝3.

故答案为3.

(2)猜想:AM＝DE.

证明:∵AB＝AC＝AD＝AE，AM，AN为高线，

∴∠DAN＝∠DAE，∠BAM＝∠BAC.

∵∠BAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAN＋∠BAM＝90°.

∵∠DAN＋∠NDA＝90°，∴∠BAM＝∠NDA.

∵∠AMB＝∠AND＝90°，AB＝AD，∴△BAM≌△AND，

∴DN＝DE，∴AM＝DE.

(3)存在，

如图，连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD.

∵AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.

∵P是AC的中点，

∴PB＝PA＝PC＝AC，PD＝PA＝PC＝AC.

∴PA＝PB＝PC＝PD，

又∵DC＝BC，PC＝PD，

∴△PDC≌△PBC，∴∠DPC＝∠BPC.

∵∠APD＋∠DPC＝180°，∠APD＋∠BPC＝180°，

∴△APD与△BPC互为“顶补等腰三角形”，

过点P作PM⊥AD，则PM为△PBC的“顶心距”PA＝PD，

∴AM＝DM，AP＝PC，

∴PM是△ACD的中位线，

PM＝BC＝BC＝1.

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