Question

16．如图，一次函数y=mx+5的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； 
（2）请根据图象直接写出不等式$\frac{k}{x}$＞mx+5的解集；
（3）连结OB，求S_△AOB；
（4）在y轴上求一点P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（3）连接OB，令直线AB与x轴的交点为点E，利用分割图形求面积法结合梯形的面积公式、三角形的面积公式以及反比例系数k的几何意义即可得出结论；
（4）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接PB，根据点B的坐标找出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法求出直线AB′的解析式，令x=0求出y值，即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵点B（4，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上，
∴1=$\frac{k}{4}$，解得：k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$．
∵点B（4，1）在一次函数y=mx+5的图象上，
∴1=4m+5，解得：m=-1，
∴一次函数解析式为y=-x+5．
（2）观察函数图象，发现：
当0＜x＜1或x＞4时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞mx+5的解集为0＜x＜1或x＞4．
（3）连接OB，令直线AB与x轴的交点为点E，如图1所示．
令y=$\frac{4}{x}$中x=1，则y=4，
∴点A（1，4）．
令y=-x+5中y=0，则x=5，
∴点E（5，0），
∴AM=1，OE=5，MO=4，
∴S_△AOB=S_梯形MOEA-S_△OAM-S_△OBE=$\frac{1}{2}$（AM+OE）•MO-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$OE•y_B=$\frac{1}{2}$×（1+5）×4-$\frac{1}{2}$×4-$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{15}{2}$．
（4）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接PB，如图2所示．
∵点B、B′关于y轴对称，
∴PB=PB′，
∴PB+PA=PB′+PA=AB′，
∵两点之间直线最短，
∴此时PA+PB最小．
∵点B（4，1），
∴点B′（-4，1），
设直线AB′的解析式为y=ax+b，
将点A（1，4）、B′（-4，1）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=a+b}\\{1=-4a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$．
令y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$中x=0，则y=$\frac{17}{5}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{17}{5}$）．
故在y轴上存在点P（0，$\frac{17}{5}$），使PA+PB最小．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、梯形的面积公式、反比例函数系数k的几何意义以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的上下位置关系解不等式；（3）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积；（4）确定点P的位置．本题属于中档题，难度不大，本题的难点在于求△AOB的面积，本题中巧妙的利用分割法求面积，给解题带来了方便．