Question

14．关于x的方程x²+（t-2）x+5-t=0的两个根都大于2，则t的取值范围是-5＜t≤-4．

Answer 1

分析 设方程的两根为x₁，x₂，由关于x的方程x²+（t-2）x+5-t=0的两个根都大于2，得出△≥0且（x₁-2）（x₂-2）＞0，利用根与系数的关系化简，再解不等式组即可．

解答 解：设关于x的方程x²+（t-2）x+5-t=0的两根为x₁，x₂，
则x₁+x₂=2-t，x₁x₂=5-t．
∵关于x的方程x²+（t-2）x+5-t=0的两个根都大于2，对称轴x=$\frac{b}{-2a}$≥2
∴△=（t-2）²-4（5-t）≥0，且（x₁-2）（x₂-2）=5-t-2（2-t）+4＞0，且$\frac{2-t}{2}≥2$
解得-5＜t≤-4．
故答案为-5＜t≤-4．

点评 本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，也考查了根的判别式．