Question

【题目】问题提出

（1）如图1．已知∠ACB＝∠ADB＝90°，请用尺规作图作出△ABD的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；点C是否在△ABD的外接圆上　 （填“是”或“否”）．

问题探究

（2）如图2．四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD．求证：CA+CB＝CD；

（3）如图3．点P是正方形ABCD对角线AC的中点，点E是平面上一点，EB＝AB且EA＝BA．点Q是线段AE的中点，请在图中画出点E，并求线段PQ与AB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】问题提出（1）作△ABD的外接圆，见解析；是；问题探究（2）见解析；（3）画出点E，见解析； PQ＝AB，PQ＝AB．

【解析】

（1）作AB的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作圆，即为△ABD的外接圆，利用四点共圆的性质可说明C在圆上；

（2）如图2，作辅助线，把AC+BC转化为CE，可证得△CDE是等腰直角三角形，从而右证明结论成立；

（3）以点B为圆心，AB长为半径作圆，以点A为圆心，AB长为半径作圆，两圆的交点为E，注意有两个交点都符合题意；连接BQ，BP，设AB＝3x，在Rt中求得，易证得AQBP四点共圆且AP＝BP，AP⊥BP，运用（2）的结论可求得PQ的值，继而求得线段PQ与AB之间的数量关系．

问题提出

（1）作AB的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，AO长为半径作圆，即为△ABD的外接圆，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴点A，点B，点D，点C四点共圆，

∴点C在△ABD的外接圆上，

故答案为：是；

问题探究

（2）如图2，将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵四边形ADBC是圆内接四边形，

∴∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三点共线，

∴∠CAE为平角，

由旋转知，AE＝BC，DE＝CD，∠CDE＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∵CE＝AE+AC＝BC+AC，

∴CA+CB＝CD；

（3）如图3，连接BQ，BP，

∵以点B为圆心，AB长为半径作圆，以点A为圆心，AB长为半径作圆，两圆的交点为E，

∴点A的左右各有个点E，

设AB＝3x，则AE＝x，

若点E在点A的左侧，

∵BE＝AB，点Q是AE的中点，

∴BQ⊥AE，AQ＝EQ＝，

∴BQ＝，

∵四边形ABCD是正方形，点P是对角线AC的中点，

∴AP＝BP，AP⊥BP，

由（2）的结论可得：AQ+BQ＝PQ，

∴PQ＝

∴PQ＝，

∴PQ＝，

若点E在点A的右侧，

同理可求：PQ＝．