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已知两条直线y=
n
n+1
x+
2
n+1
y=-
n
n+1
x+
2
n+1
(n为正整数),设它们与x轴围成的图形面积为Sn(n=1,2,…,2010),求S1+S2+…+S2010的值.
分析:观察两条直线的解析式发现,两直线关于y轴对称,且在y轴上交于一点,与x轴的交点关于原点对称,根据题意画出图形,表示出两条直线与x轴围成的面积Sn,利用拆项法把所求式子的每一项变形,抵消后即可求出的值.
解答:精英家教网解:令x=0,由直线y=
n
n+1
x+
2
n+1
,解得y=
2
n+1
,令y=0,解得x=-
2
n

所以该直线与x轴的交点坐标为(-
2
n
,0),与y轴的交点坐标为(0,
2
n+1
);
令x=0,由直线y=-
n
n+1
x+
2
n+1
,解得y=
2
n+1
,令y=0,解得x=
2
n

所以该直线与x轴的交点坐标为(
2
n
,0),与y轴的交点坐标为(0,
2
n+1
),
根据题意画出图形,如图所示:

由图形可知:△ABC的面积为两直线与x轴围成图形的面积Sn
所以Sn=S△ABC=
1
2
|BC|•|OA|=
1
2
×
2
2
n
×
2
n+1
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
),
则S1+S2+…+S2010=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2010
-
1
2011
)=2(1-
1
2011
)=
4020
2011
点评:此题考查了一次函数与坐标轴的交点求法,以及求一组数的和的方法.借助图形得到所求的面积即为三角形ABC的面积,表示出Sn是解本题的关键,同时注意利用“拆项法”即灵活利用
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,把两直线与x轴围成的面积Sn进行变形.
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