Question

已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE•GB=4-2

2

，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定方法寻找条件．
（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，知道证明G是DF中点即可．
（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，为此要找到一个关于边长的方程，因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案．

解答：（1）证明：在△BCE与△DCF中，
∵

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF．

（2）解：OG=

1

2

BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BGD≌△BGF，
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=

1

2

BF．

（3）解：设BC=x，则DC=x，BD=

2

x，
由（2）知，△BGF≌△BGD，
∴BF=BD，
∴CF=（

2

-1）x，
∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，
∴△GDB∽△GED，
∴

GD

GE

=

GB

GD

，
∴GD²=GE•GB=4-2

2

，
∵DC²+CF²=（2GD）²，
∴x²+（

2

-1）²x²=4（4-2

2

），
（4-2

2

）x²=4（4-2

2

），
x²=4，
正方形ABCD的面积是4个平方单位．

点评：本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识．注意对全等，相似的综合运用．