Question

11．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连结AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法即可得到解析式；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可．

解答 （1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂）
∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，
∴y=a（x-1）（x+3）
∵抛物线与y轴交于点C（0，3）
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3）
即y=-x²-2x+3；

（2）∵点A（1，0），点C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥x轴
∴△QOC∽△COA
∴$\frac{OQ}{OC}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{OQ}{3}=\frac{3}{1}$
∴OQ=9，
∵点Q在x轴的负半轴上，
∴Q（-9，0）
设直线DC的解析式为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}b=3\\-9k+b=0\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=3\end{array}\right.$
∴直线DC的解析式为：$y=\frac{1}{3}x+3$
∵点D是抛物线与直线DC的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+3\\ y=-{x^2}-2x+3\end{array}\right.$解之得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-\frac{7}{3}\\ y{\;}_1=\frac{20}{9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$（不合题意，舍去）
∴点D$（-\frac{7}{3}，\frac{20}{9}）$．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，特别注意利用数形结合是解答此题的关键．