【题目】如图1,AB为⊙O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.
(1)若CD=,BP=4,求⊙O的半径;
(2)求证:直线BF是⊙O的切线;
(3)当点P与点O重合时,过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形?请在图2中补全图象并证明你的结论.
【答案】
(1)
解:CD⊥AB,
∴PC=PD=CD=,
如图,连接OC,
设⊙O的半径为r,则PO=PB﹣r=4﹣r,
在RT△POC中,OC2=OP2+PC2,
即r2=(4﹣r)2+()2,解得r=.
(2)
证明:∵∠A=∠C,∠F=∠ABC,
∴∠ABF=∠CPB,
∵CD⊥AB,
∴∠ABF=∠CPB=90°,
∴直线BF是⊙O的切线;
(3)
解:四边形AEBF是平行四边形;
理由:如图2所示:
∵CD⊥AB,垂足为P,
∴当点P与点O重合时,CD=AB,
∴OC=OD,
∵AE是⊙O的切线,
∴BA⊥AE,
∵CD⊥AB,
∴DC∥AE,
∵AO=OB,
∴OC是△ABE的中位线,
∴AE=2OC,
∵∠D=∠ABC,∠F=∠ABC.
∴∠D=∠F,
∴CD∥BF,
∵AE∥BF,
∵OA=OB,
∴OD是△ABF的中位线,
∴BF=2OD,
∴AE=BF,
∴四边形AEBF是平行四边形.
【解析】(1)根据垂径定理求得PC,连接OC,根据勾股定理求得即可;
(2)求得△PBC∽△BFA,根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°,即可证得结论;
(3)通过证得AE=BF,AE∥BF,从而证得四边形AEBF是平行四边形.
此题考查了圆的综合应用,涉及知识点有垂径定理,勾股定理,相似三角形性质和平行四边形判定.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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【题目】在一个不透明的布袋中,装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球,其中红色小球4个,黑、白色小球的数目相同.小明从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后随机摸出一球,记下颜色;…如此大量摸球实验后,小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%,由此可以估计布袋中的黑色小球有 个.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.
(1)填空:点A的坐标为( , ),点B的坐标为( , ),点C的坐标为( , ),点D的坐标为( , );
(2)点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合)
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;
②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;
③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合),点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合),请直接写出△PQR周长的最小值.
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【题目】如图,直线y=﹣3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线(k≠0)上,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在双曲线(k≠0)上的点D1处,则a= .
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【题目】某商场试销一种商品,成本为每件200元,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%,一段时间后,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如下表:
销售单价x(元) | … | 230 | 235 | 240 | 245 | … |
销售量y(件) | … | 440 | 430 | 420 | 410 | … |
(1)请根据表格中所给数据,求出y关于x的函数关系式;
(2)设商场所获利润为w元,将商品销售单价定为多少时,才能使所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,直线OD与x轴所夹的锐角为30°,OA1的长为1,△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形,点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列,点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列,那么点Bn的坐标为 .
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