Question

3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

• A． y=3$\sqrt{3}$x²
• B． y=4$\sqrt{3}$x²
• C． y=8x²
• D． y=9x²

Answer 1

分析 设正方形的边长为a，易证四边形ADCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用x表示出EG，从而可求出y与x之间的关系式；

解答 解：设正方形的边长为a，
∴BC=2a，BE=a，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴四边形EHFG是矩形，
∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AEG=∠BCE，
∴tan∠AEG=tan∠BCE，
∴$\frac{AG}{EG}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴EG=2x，
∴由勾股定理可知：AE=$\sqrt{5}$x，
∴AB=BC=2$\sqrt{5}$x，
∴CE=5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG=CH，
∴EH=EC-CH=4x，
∴y=EG•EC=8x²，
故选（C）

点评 本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．