分析 (1)由题意可知:△DEF是由△ABC翻折所得,所以四边形ACBF的面积就是两个△ABC的面积;
(2)①根据AE=DE+A′D-A′A代入可得结果;
②当0<t<$\sqrt{5}$时,分三种情况:任意两边相等时,找一等量关系列方程可得t的值,当t>$\sqrt{5}$时,如图(d),因为∠AEF是钝角,所以△AEF是等腰三角形时只存在一种情况:根据EF=AE列方程可得结论;
(3)当四边形ACBF是矩形时,AF=BC=EF=1,由(2)得:此时t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
解答 解:(1)如图(a),由题意得:S四边形ACBF=2S△ABC=2×$\frac{1}{2}$AC×BC=2×1=2;
(2)①由勾股定理得:AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
设点A的起点为A′,则AE=DE+A′D-A′A=$\sqrt{5}$+t-2t=$\sqrt{5}$-t;
②当0<t<$\sqrt{5}$时,分三种情况:
i)AE=EF时,即$\sqrt{5}$-t=1,
t=$\sqrt{5}$-1;
ii)AE=AF时,
∴∠AFE=∠AEF,
∴∠ADF=∠AFD,
∴AD=AF,
∴$\sqrt{5}$-t=t,
t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$;
iii)AF=EF时,如图(c),过F作FG⊥AE于G,则AG=EG,
tan∠FEG=$\frac{FG}{EG}$=$\frac{DF}{EF}$=2,
设FG=2x,EG=x,
由勾股定理得:(2x)2+x2=12,
x=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴AE=2EG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴$\sqrt{5}$-t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$,
当t>$\sqrt{5}$时,如图(d),AE=AA′-A′D-DE=2t-t-$\sqrt{5}$=t-$\sqrt{5}$,
当EF=AE时,△AEF是等腰三角形,
即t-$\sqrt{5}$=1,
t=$\sqrt{5}$+1;
综上所述,当△AEF是等腰三角形时,t的值是$\sqrt{5}$-1或$\frac{\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$+1;
(3)存在,
如图1,当四边形ACBF是矩形时,
AF=BC=1,
∴AF=EF=1
由(2)得:此时t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$;
∴点A、C、B、F组成的四边形为矩形时,t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题是四边形综合题,考查了平行四边形的判定、矩形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形定义等知识,解题的关键是正确画出图形,学会分类讨论,属于中考压轴题.
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