Question

某超市销售一种成本为40元/kg的商品．市场调查发现：按50元/kg销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨0.5元，月销售量就减少5kg．设该商品的销售单价为x元，月销售量为y kg．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，月销售量y的范围是不低于350千克，在保本的基础上，求此时的销售单价为x的范围；
（3）求此超市在（2）的前提下销售它，那么超市为此可以获得的最大月销售利润P是多少？

Answer 1

解：（1）由题意得：y=500-5×=-10x+1000，
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+1000；

（2）由题意得：y=-10x+1000≥350，
解得：x≤65，
故x的范围是：40≤x≤65；

（3）设月销售利润为W，
根据题意列出解析式；W=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
对称轴为x=70，
又∵a＜0，40≤x≤65在对称轴左侧，w随x增大而增大，
∴当x=65时，W_最大=（65-40）（-10×65+1000）=8750，
答：超市为此可以获得的最大月销售利润P是8750元．
分析：（1）根据题意一个月能售出500kg，若销售单价每涨0.5元，每月销量就减少5kg，可得y=500-5×．
（2）用配方法化简（1）的解析式，可得8000=-10（x-70）²+9000，求出x的实际取值；
（3）先利用二次函数的性质得到w=-10（x-70）²+9000的对称轴为x=70，而（2）求得范围40≤x≤65，根据二次函数的性质得到当40≤x≤65时，W随x的增大而增大，把x=65代入计算即可得到最大月销售利润．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．