Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于两点，直线与y 轴交于点，与轴交于点,点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点.设点的横坐标为。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若,求的值；

（3）若点是点关于直线的对称点、是否存在点，使点落在y轴上？若存在，求出相应的点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5．(2) m=2或m=．(3) 点P坐标为（-，），（4，5），（3-，2-3）.

【解析】

试题（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．

试题解析：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

，

解得，

∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5．

（2）∵点P的横坐标为m，

∴P（m，-m2+4m+5），E（m，-m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP-yE|=|（-m2+4m+5）-（-m+3）|=|-m2+m+2|，

EF=|yE-yF|=|（-m+3）-0|=|-m+3|．

由题意，PE=5EF，即：|-m2+m+2|=5|-m+3|=|-m+15|

①若-m2+m+2=-m+15，整理得：2m2-17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若-m2+m+2=-（-m+15），整理得：m2-m-17=0，

解得：m=或m=．

由题意，m的取值范围为：0＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假设存在．

作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．

当四边形PECE′是菱形存在时，

由直线CD解析式y=-x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

∴，

即，

解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，

又由（2）可知：PE=|-m2+m+2|

∴|-m2+m+2|=|m|．

①若-m2+m+2=m，整理得：2m2-7m-4=0，

解得m=4或m=-；

②若-m2+m+2=-m，整理得：m2-6m-2=0，解得m1=3+，m2=3-．

由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，

此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在，即P点为（0，5）．

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（-，），（4，5），（3-，2-3）