Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，给出如下定义：

将|x1﹣x2|称为点M，N之间的“横长”，|y1﹣y2|称为点M，N之间的纵长”，点M与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d(M，N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|“．

例如：若点M(﹣1，1)，点N(2，﹣2)，则点M与点N的“折线距离”为：d(M，N)=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6．

根据以上定义，解决下列问题：

已知点P(3，2)．

（1）若点A(a，2)，且d(P，A)=5，求a的值；

（2）已知点B(b，b)，且d(P，B)＜3，直接写出b的取值范围；

（3）若第一象限内的点T与点P的“横长”与“纵长”相等，且d(P，T)＞5，简要分析点T的横坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=﹣2或a=8；（2）1＜b＜4；（3）t或0＜t．

【解析】

（1）将点P与点A代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|即可求解；

（2）将点B与点P代入d（M，N）＝|x1x2|＋|y1y2|，得到d（P，B）＝|3b|＋|2b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b＜2 时，d（P，B）＝3b＋2b＝52b＜3；当2≤b≤3时，d（P，B）＝3b＋b2＝1＜3；当b＞3时，d（P，B）＝b3＋b2＝2b5＜3；

（3）设T点的坐标为（t，m），由点T与点P的“横长”与“纵长”相等，得到|t3|＝|m2|，得到t与m的关系式，再由T在第一象限，d（P，T）＞5，结合求解即可．

（1）∵点P(3，2)，点A(a，2)，

∴d(P，A)=|3﹣a|+|2﹣2|=5，

∴a=﹣2或a=8；

（2）∵点P(3，2)，点B(b，b)，

∴d(P，B)=|3﹣b|+|2﹣b|，

当b＜2 时，d(P，B)=3﹣b+2﹣b=5﹣2b＜3，

∴b＞1，∴1＜b＜2；

当2≤b≤3时，d(P，B)=3﹣b+b﹣2=1＜3成立，

∴2≤b≤3；

当b＞3时，d(P，B)=b﹣3+b﹣2=2b﹣5＜3，

∴b＜4，∴3＜b＜4；

综上所述：1＜b＜4；

（3）设T点的坐标为(t，m)，

点T与点P的“横长”=|t﹣3|，

点T与点P的“纵长”=|m﹣2|．

∵点T与点P的“横长”与“纵长”相等，

∴|t﹣3|=|m﹣2|，

∴t﹣3=m﹣2或t﹣3=2﹣m，

∴m=t﹣1或m=5﹣t．

∵点T是第一象限内的点，

∴m＞0，

∴t＞1或t＜5，

又∵d(P，T)＞5，

∴2|t﹣3|＞5，

∴t或t，

∴t或0＜t．